Question

8．已知全集為R，函數f（x）=ln（1-x）的定義域為集合A，集合B={x|x²-x-6＞0}．
（1）求A∪B，A∩（∁_RB）；
（2）若C={x|1-m＜x＜m}，C⊆（A∩（∁_RB）），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x） 的定義域，化簡集合B，計算A∪B與A∩（∁_RB）；
（2）根據集合C⊆{x|-2≤x＜1}，討論C=∅與C≠∅時，求出對應m的取值范圍．

解答 解：（1）由1-x＞0 得，函數f（x）=lg（1-x） 的定義域A={x|x＜1}，…1分
x²-x-6＞0，（x-3）（x+2）＞0，得B={x|x＜-2或x＞3}，…3分
∴A∪B={x|x＜1或x＞3}；…4分
∁_RB={x|-2≤x≤3}，…5分
∴A∩（∁_RB）={x|-2≤x＜1}；…6分
（2）∵C⊆{x|-2≤x＜1}，
（i）當C=∅時，滿足需求，
此時1-m≥m，解得m≤$\frac{1}{2}$；
（ii）當C≠∅時，要C⊆{x|-2≤x＜1}，
則$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜m}\\{1-m≥-2}\\{m≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜m≤1；
由（i）、（ii）得，實數m的取值范圍是m≤1．

點評 本題考查了求函數的定義域與集合的化簡、運算問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是中檔題目．