Question

16．如圖，棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M，N，E分別是棱A₁B₁，A₁D₁，C₁D₁的中點．
（1）求證：AM∥平面NED；
（2）求直線AM與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結ME，證明ADEM為平行四邊形，從而得到AM∥DE，即可證明AM∥平面NED；
（2）取AB中點F，連結B₁F，則B₁F∥AM，AM與平面BCC₁B₁所成角即為B₁F平面BCC₁B₁所成角，即可求出直線AM與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 （1）證明：連結ME----------（1分）
∵M、E分別是A₁B₁、D₁C₁中點
∴A₁D₁∥ME，A₁D₁=ME
又∵A₁D₁∥AD，A₁D₁=AD
∴ME∥AD，ME=AD
故得平行四邊形ADEM-----------------------（4分）
∴AM∥DE
又∵DE?平面NED
AM?平面NED
∴AM∥平面NED-----------------------（6分）
（2）解：取AB中點F，連結B₁F，則B₁F∥AM
∴AM與平面BCC₁B₁所成角即為B₁F平面BCC₁B₁所成角．
∵AB⊥平面BCC₁B₁
∴∠FB₁B是直線AM與平面BCC₁B₁所成角---------------------------------（9分）
∵$BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}B{B_1}$
∴$tan∠F{B_1}B=\frac{FB}{{B{B_1}}}=\frac{1}{2}$
故直線AM與平面BCC₁B₁所成角的正切值為$\frac{1}{2}$-------------------------（12分）

點評 本題考查證明線面平行的方法，求直線AM與平面BCC₁B₁所成角的正切值，屬于中檔題．