Question

7．已知函數f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}}$）+cos（x-$\frac{π}{3}}$），g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$．
（1）若θ是第一象限角，且f（θ）=$\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，求g（θ）的值；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的正余弦公式函數f（x）進行變換，利用二倍角公式對函數g（x）進行變換；
（1）代入求值即可；
（2）根據已知條件列出不等式，所以由正弦函數的值域進行解答．

解答 解：f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}}$）+cos（x-$\frac{π}{3}}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx
=$\sqrt{3}$sinx．
g（x）=2sin²$\frac{x}{2}$=1-cosx；
（1）由f（θ）=$\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$得sinθ=$\frac{3}{5}$．
又θ是第一象限角，
∴cosθ＞0，
∴g（θ）=1-cosθ=1-$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$；
（2）f（x）≥g（x）?$\sqrt{3}$sinx≥1-cosx，即$\sqrt{3}$sinx+cosx≥1，
于是sin（x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，
從而2kπ+$\frac{π}{6}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得2kπ≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
故使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合為{x|2kπ≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，以及兩角和的三角公式，要求熟練掌握相應的公式，考查學生的計算能力．