Question

17．已知直線l：2x+y-1=0與圓C：x²+y²=1相交于A，B兩點．
（1）求△AOB的面積（O為坐標原點）；
（2）設直線ax+by=1與圓C：x²+y²=1相交于M，N兩點（其中a，b是實數），若OM⊥ON，試求點P（a，b）與點Q（0，1）距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l：2x+y-1=0與圓C：x²+y²=1聯立求出x，可得|AB|，求出圓心到直線的距離，即可求出三角形的面積；
（2）根據直線和圓的位置關系以及兩點間的距離公式即可得到結論．

解答 解：（1）直線l：2x+y-1=0與圓C：x²+y²=1聯立可得5x²-4x=0，∴x=0或x=$\frac{4}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•\frac{4}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴△AOB的面積S=$\frac{2}{5}$..------------（6分）
（2）由OM⊥ON可知△MON是等腰直角三角形，且圓C的半徑為1，所以圓心O到直線ax+by=1的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，化簡得a²+b²=2..------------（11分）
所以點P在以$\sqrt{2}$為半徑，原點為圓心的圓上運動，故${|{PQ}|_{max}}=\sqrt{2}+1$．．------------（15分）

點評 本題主要考查直線和圓的位置公式的應用以及兩點間的距離公式，考查學生的計算能力．