Question

6．已知正項數列{a_n}前n項和為S_n，且4S_n=a_n²+2a_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）4S_n=a_n²+2a_n+1可得4a₁=a₁²+2a₁+1，a₁＞0，解得a₁．n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1），再利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n+1．
∴當n=1時，可得4a₁=4S₁=a₁²+2a₁+1，
解得a₁=1，
由4S_n=a_n²+2a_n+1得：
4S_n-a_n²-2a_n-1=0，①
則4S_n+1-a_n+1²-2a_n+1-1=0，②
②-①得：：4（S_n+1-S_n）-a_n+1²-2a_n+1-1+a_n²+2a_n+1=0，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
∴數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
則a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{2}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
則數列{b_n}的前n項和為：1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”方法、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．