Question

16．（1）在△ABC中，求證：$\frac{a}{b}$-$\frac{b}{a}$=c（$\frac{cosB}{b}$-$\frac{cosA}{a}$）；
（2）在△ABC中，已知（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），判定△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理進行推斷、證明；
（2）由（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），得（a²-b²）sinC=（a²+b²）sin（A-B），右邊展開兩角差的正弦，結合正弦定理和余弦定理得到a²=b²或a²+b²=c²，從而得出該三角形是等腰三角形或直角三角形．

解答 解：（1）根據余弦定理將cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$代入右邊，得
右邊=c（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2abc}$-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2abc}$）=$\frac{2{a}^{2}-2{b}^{2}}{2ab}$=$\frac{a}{b}$-$\frac{b}{a}$=左邊，
∴$\frac{a}{b}$-$\frac{b}{a}$=c（$\frac{cosB}{b}$-$\frac{cosA}{a}$）；
（2）∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），
∴（a²-b²）sinC=（a²+b²）sin（A-B）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB），
∴（a²-b²）c=（a²+b²）（acosB-bcosA），
則（a²-b²）c=（a²+b²）（a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$），
整理得a²=b²或a²+b²=c²，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

點評 本題考查三角形形狀的判斷，考查了正弦定理和余弦定理的應用，涉及三角形形狀的判斷問題，要么化角為邊，要么化邊為角，是中檔題．