Question

4．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．試用空間向量知識解下列問題：
（1）求證：平面ABB₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小．

Answer 1

分析 （1）取BC中點O，連AO，利用正三角形三線合一，及面面垂直的性質可得AO⊥平面BCB₁C₁，取B₁C₁中點為O₁，以O為原點，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{O{O_1}}$，$\overrightarrow{OA}$的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出AB₁的方向向量，利用向量垂直的充要條件及線面垂直的判定定理可得AB₁⊥平面A₁BD，即可證明平面ABB₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）分別求出平面A₁AD的法向量和平面A₁AD的一個法向量代入向量夾角公式，可得二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

解答 （1）證明：取BC中點O，連AO，∵△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中點為O₁，以O為原點，
$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{O{O_1}}$，$\overrightarrow{OA}$的方向為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標系，
則$B（1，0，0），D（-1，1，0），{A_1}（0，2，\sqrt{3}），A（0，0，\sqrt{3}），{B_1}（1，2，0）$．
∴$\overrightarrow{A{B_1}}（1，2，\sqrt{3}），\overrightarrow{BD}=（-2，1，0），\overrightarrow{B{A_1}}=（-1，2，\sqrt{3}）$，
∵$\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{BD}=-2+2+0=0$，$\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{B{A_1}}=-1+4-3=0$．
∴$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{A{B_1}}⊥\overrightarrow{B{A_1}}$，∴AB₁⊥面A₁BD．…（5分）
AA₁?面A₁BD
所以 平面ABB₁A₁⊥面A₁BD------------------------------（6分）
（2）解：設平面A₁AD的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow{AD}=（-1，1，-\sqrt{3}），\overrightarrow{A{A_1}}（0，2，0）$．
$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AD}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{A{A_1}}$，∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{A{A_1}}=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}-x+y-\sqrt{3}z=0\\ 2y=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-\sqrt{3}z\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow n=（-\sqrt{3}，0，1）$為平面A₁AD的一個法向量，-------------（8分）
由（1）知AB₁⊥面A₁BD，
∴$\overrightarrow{A{B_1}}$為平面A₁AD的法向量，$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{A{B_1}}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{A{B_1}}}|}}=\frac{{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}}{{2×2\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，------------------（11分）
∴二面角A-A₁D-B的正弦值為$\sqrt{1-{{cos}^2}＜\vec n•\overrightarrow{A{B_1}}＞}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，平面與平面垂直的判定，建立空間坐標系，將空間線線垂直轉化為向量垂直，將空間二面角轉化為向量夾角是解答的關鍵．