Question

14．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時f（x）=$\frac{2x}{x+2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調性（不必證明）；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（k-3t²）+f（t²+2t）≤0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意，當x≤0時，-x≥0，利用$\left.\begin{array}{l}{f（-x）=\frac{-2x}{-x+2}=\frac{2x}{x-2}=-f（x）}\end{array}\right.$，可求得當x≤0時的函數表達式，從而可得f（x）的解析式；
（2）當x≥0時，將函數$f（x）=\frac{2x}{x+2}$分離出常數2，利用反比例函數的單調性可判斷出f（x）在[0，+∞）上是增函數，再利用奇函數的單調性質，可判斷f（x）的單調性；
（3）利用（2）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，再利用奇函數的性質，將不等式f（k-3t²）+f（t²+2t）≤0轉化為t²+2t≤3t²-k恒成立，利用判別式△=4+8k≤0即可求得k的取值范圍．

解答 （本題12分）
解：（1）∵當x≥0時有$f（x）=\frac{2x}{x+2}$，
∴當x≤0時，-x≥0，
$\left.\begin{array}{l}{∴f（-x）=\frac{-2x}{-x+2}=\frac{2x}{x-2}=-f（x）…（2分）}\end{array}\right.$
∴$f（x）=\frac{2x}{2-x}$（x≤0），
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{x+2}（x＞0）\\ \frac{2x}{2-x}（x≤0）\end{array}\right.\end{array}$…（4分）
（2）∵當x≥0時有$f（x）=\frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{x+2}$，∴f（x）在[0，+∞）上是增函數…（5分）
又∵f（x）是奇函數，∴f（x）是在（-∞，+∞）上是增函數  …（7分）
（注：只判斷f（x）是在（-∞，+∞）上是增函數得1分）
（3）f（k-3t²）+f（t²+2t）≤0則f（t²+2t）≤-f（k-3t²）=f（3t²-k）…（9分）
因f（x）為增函數，由上式推得，t²+2t≤3t²-k，∴2t²-2t-k≥0
即對一切t∈R恒有2t²-2t-k≥0…（11分）
從而判別式△=4+8k≤0，∴$k≤-\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，著重考查函數恒成立問題，考查轉化思想與運算能力，屬于難題．