Question

3．已知一元二次不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求實數a，b的值；
（2）解不等式$\frac{2x+a}{x+b}$＞1．

Answer 1

分析 （1）由題意可得1和3是x²-ax-b=0的實數根，利用韋達定理求得 a和b的值．
（2）不等式即$\frac{2x+4}{x-3}$＞1，即 $\frac{x+7}{x-3}$＞0，即（x-3）•（x+7）＞0，解一元二次不等式，求得x的范圍．

解答 解：（1）因為不等式 一元二次不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，
∴1和3是x²-ax-b=0的實數根，∴1+3=a，1×3=-b，即 a=4，b=-3．
（2）不等式$\frac{2x+a}{x+b}$＞1，即為 $\frac{2x+4}{x-3}$＞1，即 $\frac{x+7}{x-3}$＞0，即（x-3）•（x+7）＞0，
∴x＞3，或 x＜-7，故原不等式的解集為{x|x＞3，或 x＜-7}．

點評 本題主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．