Question

14．設(shè)a是實數(shù)，f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R）．
（1）證明不論a為何實數(shù)，f（x）均為增函數(shù)；
（2）若f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，解關(guān)于x的不等式f（x+1）+f（1-2x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明即可．
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的單調(diào)性化簡求解即可．

解答 解：（1）證明：f（x）的定義域為R…（1分）
設(shè)x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（a-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}）-（a-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）$
=$\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{{2^{{x_1}+1}}-{2^{{x_2}+1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$…（4分）
因為${2^{{x_2}+1}}＞{2^{{x_1}+1}}，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$
所以$\frac{{{2^{{x_1}+1}}-{2^{{x_2}+1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}＜0$即f（x₁）＜f（x₂）
所以，不論a何值f（x）為增函數(shù)                   …（6分）
（2）因為f（-x）+f（x）=0
所以f（1-2x）=-f（2x-1）
又因為f（x+1）+f（1-2x）＞0
所以f（x+1）＞f（2x-1）…（9分）
又因為f（x）為增函數(shù)，所以x+1＞2x-1
解得   x＜2                   …（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的判斷與應(yīng)用，考查計算能力．