Question

13．對于橢圓C，$\frac{x{\;}^{2}}{8}$+$\frac{y{\;}^{2}}{4}$=1，過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（非頂點），
點D在橢圓上，AD⊥AB，直線BD與x軸，y軸分別交于M，N．
（1）證明：①k_ADk_BD是定值； ②直線AM⊥x軸；
（2）求△OMN的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），D（x₂，y₂），將A，B代入橢圓方程．兩式相減得：$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由斜率公式可知：k_AB•k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由k_AD•k_AB=-1，可得k_BD=$\frac{1}{2}$k_AD，因此$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，所以x₁=x₀，即AM⊥軸；
（2）由k_BD=$\frac{1}{2}$k_AB=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，即可求得直線BD方程，令x=0得，y_N=-$\frac{y}{2}$，三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$|x₀||y_N|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{{y}_{1}}{2}$||x₁|=$\frac{1}{4}$|x₁y₁|，由基本不等式性質可知：$1=\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$•$\frac{丨xy丨}{ab}$，可得：，|x₁y₁|≤2$\sqrt{2}$，即可求得△OMN的面積的最大值．

解答 解：（1）證明：①設A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），D（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴k_AB•k_BD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，是定值，
 ②∵AD⊥AB，
∴k_AD•k_AB=-1，
∴k_BD=$\frac{1}{2}$k_AD，
設M（x₀，y₀），則則k_BD=k_BM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，k_AB=k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
易知，y₁≠0，
∴x₁=x₀，即AM⊥軸；
（2）∵M（x₁，0），k_BD=$\frac{1}{2}$k_AB=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，
∴直線BD的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$（x-x₁），
令x=0得，y_N=-$\frac{y}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₀||y_N|=$\frac{1}{2}$|-$\frac{{y}_{1}}{2}$||x₁|=$\frac{1}{4}$|x₁y₁|，
 由$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$得，$1=\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$≥$\frac{\sqrt{2}}{4}$•$\frac{丨xy丨}{ab}$，|x₁y₁|≤2$\sqrt{2}$，當且僅當$\sqrt{2}$|y₁|=|x₁|時取等號，
∴S≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即△OMN的面積的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，直線的斜率公式，考查三角形的面積公式及基本不等式的性質，考查計算能力，屬于中檔題．