Question

9．四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，頂點S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PE⊥AC，則動點P的軌跡的周長為（　　）

• A． $\sqrt{2}+\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}+\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據題意可知點P的軌跡為三角形EFG，其中G、F為中點，根據中位線定理求出EF、GE、GF，從而求出軌跡的周長．

解答 解：由題意知，點P的軌跡為如圖所示的三角形EFG，其中G、F為中點，
此時AC⊥EF，AC⊥GE，則AC⊥平面EFG，則PE⊥AC．
∵ABCD是邊長為2的正方形，∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵SO=2，OB=$\sqrt{2}$，
∴SB=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴軌跡的周長為$\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了軌跡問題，以及點到面的距離等有關知識，同時考查了空間想象能力，計算推理能力，屬于中檔題．