Question

18．閱讀下面材料，嘗試類比探究函數y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$的圖象，寫出圖象特征，并根據你得到的結論，嘗試猜測作出函數對應的圖象．
閱讀材料：
我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．
在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象的特征．我們來看一個應用函數的特征研究對應圖象形狀的例子．
對于函數y=$\frac{1}{x}$，我們可以通過表達式來研究它的圖象和性質，如：
（1）在函數y=$\frac{1}{x}$中，由x≠0，可以推測出，對應的圖象不經過y軸，即圖象與y軸不相交；由y≠0，可以推測出，對應的圖象不經過x軸，即圖象與x軸不相交．
（2）在函數y=$\frac{1}{x}$中，當x＞0時y＞0；當x＜0時y＜0，可以推測出，對應的圖象只能在第一、三象限；
（3）在函數y=$\frac{1}{x}$中，若x∈（0，+∞）則y＞0，且當x逐漸增大時y逐漸減小，可以推測出，對應的圖象越向右越靠近x軸；若x∈（-∞，0），則y＜0，且當x逐漸減小時y逐漸增大，可以推測出，對應的圖象越向左越靠近x軸；
（4）由函數y=$\frac{1}{x}$可知f（-x）=-f（x），即y=$\frac{1}{x}$是奇函數，可以推測出，對應的圖象關于原點對稱．
結合以上性質，逐步才想出函數y=$\frac{1}{x}$對應的圖象，如圖所示，在這樣的研究中，我們既用到了從特殊到一般的思想，由用到了分類討論的思想，既進行了靜態（特殊點）的研究，又進行了動態（趨勢性）的思考．讓我們享受數學研究的過程，傳播研究數學的成果．

Answer 1

分析 通過函數的定義域，函數與x的交點情況，y值的變化趨勢，函數的奇偶性和函數的單調性，歸納函數的性質即可．

解答 解：（1）在y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$中，x≠0，可以推測出：對應的圖象不經過y軸，即與y軸不相交，
（2）令y=0，即x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，解得x=±1，可以推測出，對應的圖象與x相交，交點坐標為（1，0）和（-1，0），
（3）在y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$中，當0＜x＜1時，$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1＞x²，則y＜0，當x＞1時，$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1＜x²，則y＞0，可以推測出：對應的圖象在區間（0，1）上圖象在x軸的下方，在區間（1，+∞）上圖象在x軸的上方，
（4）在y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$中，若x∈（0，+∞），則
當x逐漸增大時$\frac{1}{{x}^{2}}$逐漸減小，x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，逐漸增大，即y逐漸增大，所以原函數在（0，+∞）是增函數，
可以推測出：對應的圖象越向右逐漸升高，是單調遞增的趨勢，
（5）由函數y=x²-$\frac{1}{{x}^{2}}$可知f（-x）=f（x），即函數為偶函數，可以推測出：對應的圖象關于y軸對稱

點評 本題考查了類比推理的問題，關鍵是掌握函數的性質，以及題目所告訴的例子，屬于中檔題．