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4.已知點(0,-$\sqrt{5}$)是中心在原點,長軸在x軸上的橢圓的一個頂點,離心率為$\frac{\sqrt{6}}{6}$,橢圓的左右焦點分別為F1和F2
(1)求橢圓方程;
(2)點M在橢圓上,求△MF1F2面積的最大值;
(3)試探究橢圓上是否存在一點P,使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)由題意設出橢圓標準方程,根據頂點的坐標和離心率得b=$\sqrt{5}$,根據a2=b2+c2求出a的值,即求出橢圓標準方程;
(2)根據(1)求出的橢圓標準方程,求出點M縱坐標的范圍,即求出三角形面積的最大值;
(3)先假設存在點P滿足條件,根據向量的數量積得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$,根據橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個方程,求出S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的值,結合(2)中三角形面積的最大值,判斷出是否存在點P.

解答 解:(1)由題意設橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
由已知得,b=$\sqrt{5}$.(2分)
則e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{6}$,
解得a2=6(4分)
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1(5分)
(2)令M(x1,y1),
則S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|y1|=$\frac{1}{2}$•2•|y1|=|y1|(7分)
∵點M在橢圓上,∴-$\sqrt{5}$≤y1≤$\sqrt{5}$,
故|y1|的最大值為$\sqrt{5}$,(8分)
∴當y1=±$\sqrt{5}$時,S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的最大值為$\sqrt{5}$.(9分)
(3)假設存在一點P,使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0,
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$≠$\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{P{F}_{2}}$≠$\overrightarrow{0}$,
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$,(10分)
∴△PF1F2為直角三角形,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①(11分)
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2$\sqrt{6}$ ②(12分)
∴②2-①,得2|PF1|•|PF2|=20,∴$\frac{1}{2}$|PF1|•|PF2|=5,(13分)
即S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=5,由(1)得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$最大值為$\sqrt{5}$,故矛盾,
∴不存在一點P,使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0.(14分)

點評 本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質、向量數量積的幾何意義,利用a、b、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和b的值,根據橢圓上點的坐標范圍求出相應三角形的面積最值,即根據此范圍判斷點P是否存在,此題綜合性強,涉及的知識多,考查了分析問題和解決問題的能力.

練習冊系列答案
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乙   92 95 80 75 83 80 90 85
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