Question

4．已知點（0，-$\sqrt{5}$）是中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，橢圓的左右焦點分別為F₁和F₂．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF₁F₂面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設出橢圓標準方程，根據頂點的坐標和離心率得b=$\sqrt{5}$，根據a²=b²+c²求出a的值，即求出橢圓標準方程；
（2）根據（1）求出的橢圓標準方程，求出點M縱坐標的范圍，即求出三角形面積的最大值；
（3）先假設存在點P滿足條件，根據向量的數量積得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，根據橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個方程，求出S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的值，結合（2）中三角形面積的最大值，判斷出是否存在點P．

解答 解：（1）由題意設橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由已知得，b=$\sqrt{5}$．（2分）
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{5}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
解得a²=6（4分）
∴所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（5分）
（2）令M（x₁，y₁），
則S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁|=$\frac{1}{2}$•2•|y₁|=|y₁|（7分）
∵點M在橢圓上，∴-$\sqrt{5}$≤y₁≤$\sqrt{5}$，
故|y₁|的最大值為$\sqrt{5}$，（8分）
∴當y₁=±$\sqrt{5}$時，S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$的最大值為$\sqrt{5}$．（9分）
（3）假設存在一點P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{P{F}_{2}}$≠$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，（10分）
∴△PF₁F₂為直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{6}$ ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=5，（13分）
即S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=5，由（1）得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$最大值為$\sqrt{5}$，故矛盾，
∴不存在一點P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．（14分）

點評 本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質、向量數量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據橢圓上點的坐標范圍求出相應三角形的面積最值，即根據此范圍判斷點P是否存在，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．