Question

14．已知曲線C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數）．
（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；
（2）設M（1，2），直線l與曲線C交點為A、B，試求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）化簡橢圓的方程為參數方程，化簡直線的參數方程與普通方程即可．
（2）聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理，結合參數的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）C參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ為參數）.$l：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t⇒t=2（x-1）\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t⇒y-2=\sqrt{3}（x-1）\end{array}\right.$，
∴直線l的方程為$\sqrt{3}x-y+2-\sqrt{3}=0$．
（2）曲線C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，
可得：$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，$3（1+t+\frac{1}{4}{t^2}）+4（4+2\sqrt{3}t+\frac{3}{4}{t^2}）=12$，
$\frac{15}{4}{t^2}+（3+8\sqrt{3}）t+7=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{4（3+8\sqrt{3}）}}{15}$，${t_1}{t_2}=\frac{28}{15}$，
$|MA|•|MB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{28}{15}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，參數方程的應用，直線參數方程的幾何意義，考查計算能力．