Question

19．下列命題中，真命題的是（　　）

• A． 存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2
• B． 任意x∈（3，+∞），x²＞3x-1
• C． 存在x∈R，x²+x=-1
• D． 任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx

Answer 1

分析 求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，sinx+cosx的范圍，可判斷A；根據f（x）=x²-3x+1，當x∈（3，+∞）時，f（x）＞f（3）=1恒成立，可判斷B；根據方程x²+x=-1無實根，可判斷C；根據三角函數的定義，可判斷D．

解答 解：x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，sinx+cosx∈[1，$\sqrt{2}$]，
2∈[1，$\sqrt{2}$]，
故A存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sinx+cosx≥2為假命題；
令f（x）=x²-3x+1，則當x∈（3，+∞）時，f（x）為增函數，f（x）＞f（3）=1，
故B任意x∈（3，+∞），x²＞3x-1，為真命題；
方程x²+x=-1無實根，
故C存在x∈R，x²+x=-1為假命題；
x∈（$\frac{π}{2}$，π）時，tanx＜0，sinx＞0，
故D任意x∈（$\frac{π}{2}$，π），tanx＞sinx為假命題；
故：B．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了全稱命題，特征命題，函數的值域，三角函數的定義等知識點，難度中檔．