Question

4．已知函數f（x）=2x³+3mx²+3nx-6在x=1及x=2處取得極值．
（1）求m、n的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）由題意可知f（x）在x=1及x=2處取得極值，即$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，列方程組即可求得m、n的值；
（2）由題意可知：f′（x）=6x²-18x+12，令f′（x）＞0，求得函數單調遞增區間，令f′（x）＜0，求得函數的單調遞減區間．

解答 解：（1）函數f（x）=2x³+3mx²+3nx-6，求導，f′（x）=6x²+6mx+3n=0，
f（x）在x=1及x=2處取得極值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-2}\\{4m+n=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=4}\end{array}\right.$，
m、n的值分別為-3，4；
（2）由（1）可知：f′（x）=6x²-18x+12，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
f（x）的單調遞增區間（-∞，1），（2，+∞），
當單調遞減區間（1，2）．

點評 本題考查導數的求法，考查函數的單調性與極值的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．