Question

已知函數f（x）=ax²-2x+lnx．
（I）函數f（x）在x=1與x=

1

2

處的切線平行，求實數a的值；
（Ⅱ）若a≥0，劃分函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）函數f（x）在區間[2，4]上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數由f′(1)=f′(

1

2

)求得a的值；
（Ⅱ）求出原函數的導函數f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)，分a=0，0＜a＜

1

2

，a≥

1

2

三種情況由導函數的符號判斷原函數的單調期間；
（Ⅲ）把函數f（x）在區間[2，4]上為增函數，轉化為f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)≥0在[2，4]上恒成立，即2a-

2

x

+

1

x2

≥0在[2，4]上恒成立，令t=

1

x

換元后得到t²-2t+2a≥0在區間[

1

4

，

1

2

]上恒成立．然后由函數的單調性求得最小值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²-2x+lnx，得f′(x)=2ax-2+

1

x

，
由題意，f′(1)=f′(

1

2

)，即2a-1=a，解得a=1；
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)，
①當a=0時，f′(x)=

1

x

(-2x+1)，在區間（0，

1

2

]上f′（x）≥0，f（x）為增函數；
在區間[

1

2

，+∞）上f′（x）≤0，f（x）為減函數；
②當0＜a＜

1

2

時，2a²-2x+1=0的根為x1=

1- 1-2a

2a

，x2=

1+ 1-2a

2a

．
在區間（0，

1- 1-2a

2a

]上f′（x）≥0，f（x）為增函數；在區間[

1- 1-2a

2a

，

1+ 1-2a

2a

]上f′（x）≤0，
f（x）是減函數；在區間[

1+ 1-2a

2a

，+∞）上，f′（x）≥0，f（x）為增函數；
③當a≥

1

2

時，△=4-8a≤0，f′（x）≥0，在區間（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立，函數在（0，+∞）上為增函數．
（Ⅲ）函數f（x）在區間[2，4]上為增函數，則f′(x)=

1

x

(2ax2-2x+1)≥0在[2，4]上恒成立，等價于
2a-

2

x

+

1

x2

≥0在[2，4]上恒成立，
令t=

1

x

，則等價于t²-2t+2a≥0在區間[

1

4

，

1

2

]上恒成立．
∵g（x）=t²-2t+2a在區間[

1

4

，

1

2

]上為減函數，
∴g(t)min=g(

1

2

)=-

3

4

+2a≥0，即a≥

3

8

．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性考查了利用導數求函數的最值，考查了數學轉化思想方法，是壓軸題．