Question

在直角坐標系中，已知圓的方程為x²-8xcosθ+y²-6ysinθ+7cos²θ+8=0，在以直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，有點A（2，0）
（Ⅰ）求圓心軌跡的普通方程C；
（Ⅱ）若點P在曲線C上，求|PA|的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）化圓的一般式方程為標準式，得到圓心坐標，消去參數后得圓心的軌跡方程；
（Ⅱ）由題意方程求得其左右頂點坐標，根據A為橢圓的右頂點可得|PA|的取值范圍．

解答： 解（Ⅰ）將圓的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1．
設圓心坐標為（x，y），則

x=4cosθ y=3sinθ

（θ為參數，θ∈R），
消掉θ得：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由

x2

4

+

y2

3

=1，得橢圓左右頂點坐標分別為：（-2，0），（2，0），
而A（2，0），
∴橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的點P與A的距離的最小值為0，最大值為4．
故|PA|的取值范圍是[0，4]．

點評：本題考查了圓的一般方程化標準方程，考查了橢圓的參數方程化普通方程，是基礎題．