Question

在平面直角坐標系xOy中，設AB是過橢圓

x2

4

+y2=1中心的弦，橢圓的左焦點為F，則△FAB面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線AB的方程為：ky=x，與橢圓方程聯立化為（4+k²）y²=4，解得y=±

2

4+k2

．利用△FAB面積S=

1

2

|OF|•|y1-y2|即可得出．

解答： 解：設直線AB的方程為：ky=x，
聯立

x=ky x2+4y2=4

，
化為（4+k²）y²=4，
解得y=±

2

4+k2

．
∴△FAB面積S=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|OF|•

4

4+k2

=

1

2

×

3

×

4

k2+4

≤

2 3

2

=

3

，
當k=0即AB為橢圓的短軸時，△FAB面積取得最大值

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立解得交點、三角形的面積計算公式，考查了計算能力，屬于基礎題．