Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）在x=-

2

3

與x=1時都取得極值．
（1）求a，b的值與函數f（x）的單調區間；
（2）若函數g（x）=f（x）-2c在區間[-1，2]內恰有兩個零點，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=3x²+2ax+b，再由題意可得

f′(- 2 3 )= 4 3 -2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，從而求出a，b；再求單調區間；
（2）由（1）列表，從而可得-

3

2

+c＜2c＜

1

2

+c或2c=

22

27

+c，從而解得．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵x=-

2

3

與x=1時都取得極值，
∴

f′(- 2 3 )= 4 3 -2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3+2a+b=0

，
解得，a=-

1

2

，b=-2；
此時f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
經檢驗，-

2

3

與1是函數的極值點；
令f′（x）＞0，則x＜-

2

3

或x＞1；
令f′（x）＜0，則-

2

3

＜x＜1；
∴單調增區間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞），單調減區間為（-

2

3

，1）．
（2）由（1）得

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		正	0	負	0	正
f（x）	1 2 +c	單調遞增	22 27 +c	單調遞減	- 3 2 +c	單調遞增	2+c

∵函數g（x）=f（x）-2c在區間[-1，2]內恰有兩個零點，
∴-

3

2

+c＜2c＜

1

2

+c或2c=

22

27

+c，
即-

3

2

＜c＜

1

2

或c=

22

27

；
∴c的取值范圍為-

3

2

＜c＜

1

2

或c=

22

27

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的零點與函數圖象的關系應用，屬于中檔題．