Question

設拋物線C₁：y²=4x的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點，離心率為

1

2

的橢圓記作C₂．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線L經過橢圓C₂的右焦點F₂，與拋物線C₁交于A₁、A₂兩點，與橢圓C₂交于B₁、B₂兩點，當以B₁B₂為直徑的圓經過F₁時，求|A₁A₂|的長；
（3）若M是橢圓上的動點，以M為圓心，MF₂為半徑作⊙N，使得⊙M與⊙N恒相切，若存在，求出⊙N的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）當直線l與x軸垂直時，B1(1，

3

2

)，B2(1，-

3

2

)，不滿足條件，當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為：y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理、圓的性質、弦長公式能求出|A₁A₂|．
（3）存在定圓N，使得M與N恒相切，由橢圓定義知|MF₁|+|MF₂|=2a=4，由此得到兩圓相內切

解答： 解：（1）∵拋物線C₁：y²=4x的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂，
以F₁、F₂為焦點，離心率為

1

2

的橢圓記作C₂，
∴橢圓C₂的焦點坐標為F₁（-1，0），F₂（1，0），
設橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b=

3

，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）當直線l與x軸垂直時，B1(1，

3

2

)，B2(1，-

3

2

)，
又F₁（-1，0），此時

B1F1

•

B2F1

≠0，
∴以B₁B₂為直徑的圓不經過F₁，不滿足條件，
當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，即（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵焦點在橢圓內部，∴恒有兩個交點，
設B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∵以B₁B₂為直徑的圓經過F₁，∴

B1F1

•

B2F1

=0，又F₁（-1，0），
∴（-1-x₁）•（-1-x₂）+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0，
∴（1+k²）•

4k2-12

3+4k2

+（1-k²）•（-

8k2

3+4k2

）+1+k²=0，
解得k²=

9

7

，
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵直線l與拋物線有兩個交點，∴k≠0，
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則x₃+x₄=

2k2+4

k2

=2+

4

k2

，x₃x₄=1，
∴|A₁A₂|=x₃+x₄+p=2+

4

k2

+2=

64

9

．
（3）存在定圓N，使得M與N恒相切，
定圓N的方程為：（x+1）²+y²=16，圓心是左焦點F（-1，0），
由橢圓定義知|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴兩圓相內切．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查弦長的求法，考查使得⊙M與⊙N恒相切的⊙N的方程是否存在的判斷與求法，解題時要注意根的判別式、韋達定理、圓的性質、弦長公式的合理運用．