Question

已知圓M：（x-3）²+y²=9，過圓心M的直線與拋物線y²=12x和圓M的交點自上而下依次為點A，B，C，D，則

AB

•

CD

的值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,圓的標準方程

專題：平面向量及應用

分析：設出點A、B、C、D的坐標，然后，聯立方程組，寫出向量的響應坐標形式，然后，求解即可．

解答： 解：如圖所示：
圓M的方程為：（x-3）²+y²=9，則其直徑長|BC|=6，圓心為P（3，0），
設l的方程為ky=x-3，即x=ky+3，代入拋物線方程得：y²=12ky+36，
∴y²-12ky-36=0，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=12k，y₁y₂=-36，
設B（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
將直線方程x=ky+3代人圓的方程（x-3）²+y²=9，得
y=±

3

k2+1

，x=±

3k

k2+1

+3，
∵

PB

=(x3-3，y3)，

PD

=(x2-3，y2)，

PC

=(x4-3，y4)，

PA

=(x1-3，y1)，
∴

AB

•

CD

=（

PB

-

PA

）•（

PD

-

PC

）
=

PB

•

PD

-

PB

•

PC

-

PA

•

PD

+

PA

•

PC

=（x₁-3）（x₃-3）+y₁y₃-（x₃-3）（x₄-3）+y₃y₄-（x₁-3）（x₂-3）-y₁y₂+（x₁-3）（x₄-3）+y₁y₄=9．
故答案為：9．

點評：本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，應用向量的坐標表示是關鍵，屬于中檔題．