Question

14．數列{a_n}滿足a_n+1（a_n-1-a_n）=a_n-1（a_n-a_n+1），若a₁=2，a₂=1，則a₂₀=（　　）

• A． $\frac{1}{{{2^{10}}}}$
• B． $\frac{1}{2^9}$
• C． $\frac{2}{21}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a_n+1（a_n-1-a_n）=a_n-1（a_n-a_n+1），展開化為：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$．利用等差數列的通項公式得出．

解答 解：數列{a_n}滿足a_n+1（a_n-1-a_n）=a_n-1（a_n-a_n+1），展開化為：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$．
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，公差為$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，首項為1．
∴$\frac{1}{{a}_{20}}$=1+$\frac{1}{2}×19$=$\frac{21}{2}$，解得a₂₀=$\frac{2}{21}$．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、數列遞推關系、方程思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．