Question

19．已知拋物線y²=4x的焦點F，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，則4|FA|+|FB|的最小值為9．

Answer 1

分析 聯立方程組消元，由根與系數的關系得出A，B橫坐標互為倒數，利用拋物線的性質得出4|FA|+|FB|=4x₁+4+$\frac{1}{{x}_{1}}$+1，根據基本不等式得出最值．

解答 解：拋物線的焦點為F（1，0），
（1）若直線與x軸垂直，則直線方程為x=1，
代入拋物線方程得y=±2，
∴|FA|=|FB|=2，
∴4|FA|+|FB|=10．
（2）若直線與x軸不垂直，顯然直線有斜率，
設直線方程為y=k（x-1），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=1，即x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
∵A，B在拋物線上，∴|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1=$\frac{1}{{x}_{1}}+1$，
∴4|FA|+|FB|=4x₁+4+$\frac{1}{{x}_{1}}$+1=4x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$+5≥2$\sqrt{4{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}}$+5=9．
當且僅當4x₁=$\frac{1}{{x}_{1}}$即x₁=$\frac{1}{2}$時取等號．
綜上，4|FA|+|FB|的最小值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．