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4.已知數列{an}是公差為d的等差數列,在{an}的每相鄰兩項之間插入這兩項的算術平均值,得到新數列{an(1)},這樣的操作叫做該數列的1次“A”擴展,連續m次“A”擴展,得到新數列{an(m)}.例如:數列1,2,3第1次“A”擴展后得到數列1,$\frac{3}{2}$,2,$\frac{5}{2}$,3;第2次“A”擴展后得到數列1,$\frac{5}{4}$,$\frac{3}{2}$,$\frac{7}{4}$,2,$\frac{9}{4}$,$\frac{5}{2}$,$\frac{11}{4}$,3.
(1)求證:{an(m)}為等差數列,并求其公差dm
(2)已知等差數列{an}共有n項,且a1=1,d=1,{an(m)}的所有項的和為Sn(m),求使Sn(n2)-n2>2017,成立的n的取值集合.

分析 (1)根據等差中項的定義得出結論,根據等差數列的通項公式即可得出dm;
(2)根據(1)的結論代入求和公式得出Sn(n2)-n2,利用單調性得出n的范圍.

解答 解:(1)由題意可知an(m)=$\frac{{a}_{n-1}(m)+{a}_{n+1}(m)}{2}$,
∴{an(m)}為等差數列.
經過m次A擴展后,在an和an+1之間共插入的數據個數為:1+2+4+…+2m-1=2m-1,
∴a1(m)=a1,a${\;}_{{2}^{m}+1}$(m)=a2
∴a${\;}_{{2}^{m}+1}$(m)=a1(m)+2mdm,即a2=a1+2mdm
∴dm=$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{{2}^{m}}$=$\fracp9vv5xb5{{2}^{m}}$.
(2)由(1)可知經過n2次A擴展后,{an(n2)}的項數為n+(n-1)•(2${\;}^{{n}^{2}}$-1)=n•2${\;}^{{n}^{2}}$-2${\;}^{{n}^{2}}$+1,
∴Sn(n2)=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$×(n•2${\;}^{{n}^{2}}$-2${\;}^{{n}^{2}}$+1)=$\frac{n•{2}^{{n}^{2}}-{2}^{{n}^{2}}+1}{2}$(n+1),
∴Sn(n2)-n2=2${\;}^{{n}^{2}}$-1(n2-1)+$\frac{1}{2}$(n+1)-n2(n≥3),
設f(n)=2${\;}^{{n}^{2}}$-1(n2-1)+$\frac{1}{2}$(n+1)-n2,顯然f(n)為增函數,
∵f(3)=2041>2017,
∴n≥3.

點評 本題考查了等差數列的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(I)求函數g(x)的極值;
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(1)求證:DM⊥BM
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14.已知集合M={y|y=x},N={x|x2+y2=1},則M∩N=( 。
A.{($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)}B.{(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)}C.(-1,1)D.[-1,1]

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