Question

15．有下列命題：
①復數z滿足|z-1|+|z+1|=2則復數z所對應點Z的軌跡是一個橢圓；
②f′（x₀）=$\lim_{h→0}\frac{{f（{x_0}+h）-f（{x_0}）}}{h}=\lim_{x→{x_0}}\frac{{f（x）-f（{x_0}）}}{{x-{x_0}}}$=$\lim_{h→0}\frac{{f（{x_0}）-f（{x_0}-h）}}{h}$；
③將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有5³種；
④已知一組數據x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均數是2，方差是$\frac{1}{3}$，那么另一組數據3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均數和方差分別是4和3；
⑤若a＞0，b＞0，f（x）=4x³-ax²-2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值為9
其中正確的有：②④⑤．

Answer 1

分析 由復數的幾何意義，結合圖形，即可判斷①；運用導數的極限定義，即可判斷②；
由每封信都有3種方法，根據分步相乘原理，即可判斷③；
運用均值和方差的性質，即可判斷④；由極值的定義和基本不等式的運用，即可得到所求最大值，即可判斷⑤．

解答 解：①復數z滿足|z-1|+|z+1|=2，表示點Z與點A（1，0）和點B（-1，0）的距離和為2，
由于2=1-（-1），則復數z所對應點Z的軌跡是線段AB，故①錯；
②由導數的極限定義可得f′（x₀）=$\lim_{h→0}\frac{{f（{x_0}+h）-f（{x_0}）}}{h}=\lim_{x→{x_0}}\frac{{f（x）-f（{x_0}）}}{{x-{x_0}}}$=$\lim_{h→0}\frac{{f（{x_0}）-f（{x_0}-h）}}{h}$，故②對；
③將5封信投入3個郵筒，由于每封信都有3種方法，不同的投法共有3⁵種，故③錯；
④已知一組數據x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均數是2，方差是$\frac{1}{3}$，
那么另一組數據3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均數為3×2-2=4，方差為9×$\frac{1}{3}$=3，故④對；
⑤若a＞0，b＞0，f（x）=4x³-ax²-2bx+2在x=1處有極值，由f′（x）=12x²-2ax-2b，可得12-2a-2b=0，
即有a+b=6，則ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=9，當且僅當a=b=3取得最大值為9，故⑤對．
故答案為：②④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是復數的幾何意義、導數的極限定義、計數原理和均值、方差的性質和導數的運用：極值以及基本不等式的運用：求最值，考查推理和運算能力，屬于中檔題．