Question

6．已知函數f（x）=6-12x+x³．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求過點P（3，-3）并且與函數f（x）圖象相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）設出切點坐標，表示出切線方程，代入P（3，-3），求出切線方程即可．

解答 解：（1）f′（x）=-12+3x²，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
故函數的增區間是（-∞，-2），（2，+∞），減區間是[-2，2]；
（2）設切點是（a，6-12a+a³），
f′（a）=3a²-12，
故切線方程是：y-（6-12a+a³）=（3a²-12）（x-a），
將P（3，-3）代入方程得：
解得：a=3或a=$\frac{3}{2}$，
故切線方程是：15x-y-48=0或21x+4y-51=0．

點評 本題考查了求切線方程問題，考查函數的單調性以及導數的應用，是一道中檔題．