Question

9．下列說法中：
（1）函數f（x）=$\frac{1}{x}$在其定義域內單調遞減     
（2）若a＞b＞0，則a-$\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b}$；
（3）若a＞0，b＞0且2a+b=1，則$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為9
（4）函數f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$在（-2，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，+∞）$；
（5）已知a，b，c是實數，關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集的充要條件是a＞0且△≤0；
正確的序號為為（2），（3），（4）．

Answer 1

分析 （1），定義域為{x|x≠0}，但在定義域上不單調；
（2），若a＞b＞0，⇒$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$，則a-$\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b}$，；
（3）利用“乘1法”、基本不等式的性質即可得出；
（4）把函數f（x）解析式進行常數分離，變成一個常數和另一個函數g（x）的和的形式，由函數g（x）在 （-2，+∞）為增函數得出1-2a＜0，從而得到實數a的取值范圍．
（5），關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集?關于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是R，分兩種情況考慮：（i）當a=b=0時，c＞0時，原不等式的解集為空集；（ii）當a不為0時，a＞0且△＜0．

解答 解：對于（1），定義域為{x|x≠0}，但在定義域上不單調，故錯；
對于（2），若a＞b＞0，⇒$-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{b}$，則a-$\frac{1}{a}＞b-\frac{1}{b}$，故正確；
對于（3），∵a＞0，b＞0，2a+b=1，∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）（2a+b）$=5+$\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{2b}{a}×\frac{2a}{b}}=9$，故正確；
對于（4），∵函數f（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，結合復合函數的增減性，再根據f（x）在 （-2，+∞）為增函數，可得1-2a＜0，得a$＞\frac{1}{2}$，故正確；
對于（5），關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集是空集?關于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是R，分兩種情況考慮：（i）當a=b=0時，c＞0時，原不等式的解集為空集；（ii）當a不為0時，a＞0且△＜0，故錯．
故答案為：（2），（3），（4）

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的不等式、函數的基礎知識，屬于中檔題．