Question

12．設a為實數，函數f（x）=x³-x²-x+a
（1）求f（x）的極值
（2）曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數連續可導，只需討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個交點，可轉化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．

解答 解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=1．
又∵當x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）時，f'（x）＞0；
當x∈（-$\frac{1}{3}$，1）時，f'（x）＜0；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；
∴x₁=-$\frac{1}{3}$與x₂=1分別為f（x）的極大值與極小值點．
∴f（x）_極大值=f（-$\frac{1}{3}$）=a+$\frac{5}{27}$；f（x）_極小值=a-1；
（2）∵f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上單調遞增，
∴當x→-∞時，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調遞增，當x→+∞時，f（x）→+∞
∴當f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時，曲線f（x）與x軸僅有一個交點．
即a+$\frac{5}{27}$＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-$\frac{5}{27}$）∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數的單調性，屬于中檔題．