Question

18．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，且對任意正數x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時，f（x）＞0，f（3）=1．
（1）求幾何A={x|f（x）＞f（x-1）+2}；
（2）比較f（a+1-lna）與f（$\frac{1}{a}$+1+lna）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 形如f（xy）=f（x）+f（y）的函數模型，它的原型就是對數函數y=log_ax；
 （1）是通過抽象函數的單調性，脫掉”f“，解不等式； 
 （2）由f（x）的單調性，去掉”f“，實際上就是比較，a+1-lna與$\frac{1}{a}$+1+lna的大小，可用做差法．

解答 解：（1）設x₁＞x₂＞0，則由條件可知f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，又∵f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）＞f（x₂），
∴f（x）是定義在（0，+∞）上的函數增函數．
 由f（x）＞f（x-1）+2，且f（9）=f（3）+f（3）=2，得到f（x）＞f（，9（x-1）），即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-1＞0}\\{x＞9x-9}\end{array}\right.$，∴1＜x＜$\frac{9}{8}$．
∴集合A═{x|1＜x＜$\frac{9}{8}$}．
（2）由x＞0時，lnx＞x+1可知，a+1-lna＞0，$\frac{1}{a}$+1+lna＞0．
  a+1-lna-（$\frac{1}{a}$+1+lna）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
記 g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，g′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（ $\frac{1}{a}-1$）²≥0，g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna在（0，+∞）上是單調增函數，且g（1）=0，
∴當a＞1時，a+1-lna＞$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＞f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
當a＜1時，a+1-lna＜$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＜f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
當a=1時，a+1-lna=$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）=f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
綜上所述：當a＞1時，a+1-lna＞$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＞f（$\frac{1}{a}$+1+lna）； 當a＜1時，a+1-lna＜$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）＜f（$\frac{1}{a}$+1+lna）；
 當a=1時，a+1-lna=$\frac{1}{a}$+1+lna，f（a+1-lna）=f（$\frac{1}{a}$+1+lna）．

點評 本題考查了抽象函數的單調性證明方法（定義法）的處理技巧，解抽象函數不等式時要注意定義域這是易錯點，以及用作差法比較代數式大小（用到分類討論），屬于中檔題．