Question

14．若關于x的方程x+b=3-$\sqrt{4x-{x^2}}$只有一個解，則實數b的取值范圍是（-1，3]∪{1-2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由題意可得半圓（x-2）²+y²=4（y≥0）與直線y=-x+3-b只有1個交點，數形結合求得實數b的取值范圍．

解答 解：關于x的方程x+b=3-$\sqrt{4x-{x^2}}$只有一個解，
則函數y=$\sqrt{4x{-x}^{2}}$ （0≤x≤4），
即（x-2）²+y²=4（y≥0），表示以C（2，0）為圓心、
半徑等于2的半圓，
且此半圓與直線y=-x+3-b只有1個交點，如圖：
當直線y=-x+3-b經過點A、B時，3-b=4，b=-1；
當直線y=-x+3-b經過原點O時，b=3；
當直線y=-x+3-b與半圓相切時，
由圓心C到直線y=-x+3-b的距離等于半徑可得
$\frac{|2+0+b-3|}{\sqrt{2}}$=2，求得b=1-2$\sqrt{2}$，或b=1+2$\sqrt{2}$（不滿足3-b＞4，故舍去），
結合圖象可得，-1＜b≤3或$b=1-2\sqrt{2}$；     
故答案為：（-1，3]∪{1-2$\sqrt{2}$}．

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數判斷，直線和圓的位置關系的應用，屬于中檔題．