Question

4．有下列四個命題，
①若點P在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1上，左焦點為F，則|PF|長的取值范圍為[1，5]；
②方程x=$\sqrt{{y^2}+1}$表示雙曲線的一部分；
③過點（0，2）的直線l與拋物線y²=4x有且只有一個公共點，則這樣的直線l共有3條；
④函數f（x）=x³-2x²+1在（-1，2）上有最小值，也有最大值．
其中真命題的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據橢圓的性質，可判斷①；根據雙曲線的標準方程，可判斷②；根據直線與拋物線的位置關系，可判斷③；分析函數的最值，可判斷④．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1的a=3．c=2，
若點P在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1上，左焦點為F，
|PF|長的最小值為a-c=1，最大值為a+c=5，
則|PF|長的取值范圍為[1，5]，故①正確；
②方程x=$\sqrt{{y^2}+1}$可化為：x²-y²=1，x≥0，
表示雙曲線的一部分，故②正確；
③過點（0，2）的直線l與拋物線y²=4x有且只有一個公共點，
則直線與拋物線相切，或與對稱軸平行，
則這樣的直線l共有3條，故③正確；
④函數f（x）=x³-2x²+1的導數f′（x）=3x²-4x²，
令f′（x）=0，則x=0，或x=$\frac{4}{3}$，
由f（-1）=-2，f（$\frac{4}{3}$）=$-\frac{5}{27}$； f（0）=1，f（2）=1，
故在（-1，2）上無最小值，有最大值．
故④錯誤；
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了橢圓的性質，雙曲線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，函數的最值，難度中檔．