Question

9．已知拋物線y²=2px的準線經過點（-1，1），
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知過拋物線焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且|AB|長為5，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意可知拋物線y²=2px的準線方程為x=-1，求出p，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）分類討論，直線與拋物線方程聯立，由拋物線的定義可知，|AB|=x₁+x₂+p=5，即可求直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）根據題意可知拋物線y²=2px的準線方程為x=-1，
則$-\frac{p}{2}=-1$，p=2，…（2分）
∴拋物線的方程為y²=4x； …（4分）
（Ⅱ）當過焦點的直線斜率不存在時，|AB|=4，不合題意； …（5分）
故可設直線AB方程為y=k（x-1）（k≠0），$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，…（7分）
則${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，…（8分）
由拋物線的定義可知，|AB|=x₁+x₂+p，∴$5=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}+2$，…（10分）
解得k=±2，∴所求直線方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0．…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．