Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點．
（1）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AA₁=AC=CB=5，AB=6，求三棱錐D-AA₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）連結AC₁，A₁C，交于點O，連結OD，則OD∥BC₁，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）三棱錐D-AA₁C的體積${V}_{D-A{A}_{1}C}$=${V}_{{A}_{1}-ADC}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）連結AC₁，A₁C，交于點O，連結OD，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點．
∴OD∥BC₁，∵OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
解：（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中點，AA₁=AC=CB=5，AB=6，
∴A₁A⊥ADC，S_△ADC=$\frac{1}{2}AD•DC$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{25-9}$=6，
∴三棱錐D-AA₁C的體積：
${V}_{D-A{A}_{1}C}$=${V}_{{A}_{1}-ADC}$=$\frac{1}{3}×{A}_{1}A×{S}_{△ADC}$=$\frac{1}{3}×5×6$=10．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力、推理論證能力、數形結合思想、轉化思想以及計算能力，是中檔題．