Question

7．已知f（x）=sinx-cosx-ax．
（1）若f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上單調，求實數a的取值范圍；
（2）證明：當$a=\frac{2}{π}$時，f（x）≥-1在x∈[0，π]上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（2）求出函數的導數，通過討論x 范圍，求出函數的單調區間，從而求出f（x）的最小值，證出結論即可．

解答 解：（1）$f'（x）=cosx+sinx-a=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a$…（1分）
若f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上單調遞增，則當$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，f'（x）≥0恒成立，
當$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]，sin（{x+\frac{π}{4}}）∈[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]，\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）∈[{-1，\sqrt{2}}]$，
此時a≤-1；…（4分）
若f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上單調遞減，同理可得$a≥\sqrt{2}$…（5分）
所以a的取值范圍是$（{-∞，-1}]∪[{\sqrt{2}，+∞}）$…（6分）
（2）$a=\frac{2}{π}$時，$f（x）=sinx-cosx-\frac{2}{π}x，f'（x）=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-\frac{2}{π}$…（7分）
當x∈[0，π]時，f'（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上單調遞增，在$[{\frac{π}{4}，π}]$上單調遞減，
$f'（0）=1-\frac{2}{π}＞0，f'（x）=-1-\frac{2}{π}＜0$…（9分）
∴存在${x_0}∈（{\frac{π}{4}，π}）$，使得在[0，x₀）上f'（x）＞0，在（x₀，π]上f'（x）＜0，
所以函數f（x）在[0，x₀）上單調遞增，在（x₀，π]上單調遞減…（11分）
故在[0，π]上，f（x）_min=min{f（0），f（π）}=-1，
所以f（x）≥-1在x∈[0，π]上恒成立…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及三角函數的性質，是一道中檔題．