Question

18．?x∈[1，3]使a+x+$\frac{1}{x}$＞0，則a的取值范圍為（-$\frac{10}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉化為：?x∈[1，3]，使a≥-（x+$\frac{1}{x}$）_min，設g（x）=-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：若“?x∈[1，3]，使x+$\frac{1}{x}$+a＞0”成立，
則等價為“?x∈[1，3]，使a＞-（x+$\frac{1}{x}$）_min，
設g（x）=-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，
而g（1）=-2，g（3）=-$\frac{10}{3}$，
∴-$\frac{10}{3}$≤g（x）≤-2，
∴a＞-$\frac{10}{3}$，
故答案為：（-$\frac{10}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查函數的單調性問題，是一道基礎題．