Question

8．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁，F₂，右頂點為A，上頂點為B，坐標系原點O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，橢圓的離心率是$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果動直線l：y=kx+n與橢圓C有且只有一個公共點，點F₁，F₂在直線l上的正投影分別是P，Q，求四邊形F₁PQF₂面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．根據三角形OAB面積相等：$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，代入即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△=0，4k²-n²+3=0，由F₁P⊥l，F₂Q⊥l，直角梯形F₁PQF₂中位線長d₁=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，點F₂（1，0）直線F₁P的距離d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d₁•d₂=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，則根據函數的單調性，即可求得四邊形F₁PQF₂面積S的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．
由坐標系原點O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
則$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直線l與橢圓僅有一個公共點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8knx=4n²-12=0，
由△=0，4k²-n²+3=0，
由F₁P⊥l，F₂Q⊥l，
當①k≠0，在直角梯形F₁PQF₂中位線長d₁=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
直線F₁P的方程為：x+ky+1=0，
點F₂（1，0）直線F₁P的距離d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d₁•d₂=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²，
∴S=8$\frac{t}{2{t}^{2}+2t+1}$=8$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$，
友t＞3，由雙勾函數知S在t＞3上單調遞減，
∴0＜S＜2$\sqrt{3}$，
②當k=0時，n=±$\sqrt{3}$，S=2$\sqrt{3}$，
綜上所述：四邊形F₁PQF₂面積S取值范圍為（0，2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，雙勾函數的單調性的應用，考查計算能力，屬于中檔題．