Question

19．（1）設復數z滿足|z|=5，且（3+4i）z是純虛數，求z．
（2）已知m＞0，a，b∈R，求證：（$\frac{a+mb}{1+m}$）²≤$\frac{{a}^{2}+m{b}^{2}}{1+m}$．

Answer 1

分析 （1）設z=a+bi，計算（3+4i）z，根據純虛數的定義列方程組解出a，b；
（2）使用分析法證明，逐步找出使不等式成立的條件即可．

解答 解：（1）設z=a+bi（a，b∈R），則a²+b²=25，
∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=（3a-4b）+（4a+3b）i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b=0}\\{4a+3b≠0}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴z=4+3i或z=-4-3i．
（2）證明：∵m＞0，∴1+m＞0，
欲證（$\frac{a+mb}{1+m}$）²≤$\frac{{a}^{2}+m{b}^{2}}{1+m}$成立，
只需證（a+mb）²≤（1+m）（a²+mb²），即證m（a²-2ab+b²）≥0，
即證（a-b）²≥0，
顯然（a-b）²≥0恒成立，
∴（$\frac{a+mb}{1+m}$）²≤$\frac{{a}^{2}+m{b}^{2}}{1+m}$．

點評 本題考查了復數的運算，不等式的證明，屬于中檔題．