Question

11．已知直線l交拋物線y²=-3x于A、B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4（O是坐標原點），設l與x軸的非正半軸交于點F，F、F′分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點．若在雙曲線的右支上存在一點P，使得2|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{PF'}$|，則a的取值范圍是[$\frac{4}{5}$，4）．

Answer 1

分析 確定F的坐標，由雙曲線的定義，再根據點P在雙曲線的右支上，可得|PF₂|≥c-a，從而a的取值范圍．

解答 解：設點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
設直線方程為x=my+n，
聯立方程，消去x得y²+3my+3n=0，
則y₁y₂=3n，x₁x₂=n²，
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=4，則x₁x₂+y₁y₂=4，
即3n+n²=4，
解得n=1（舍去）或n=-4，
∴F（-4，0），
∵2|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{PF'}$|，
∴由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{PF}$|-|$\overrightarrow{PF'}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PF'}$|=2a，
∴|$\overrightarrow{PF'}$|=4a，
∵點P在雙曲線的右支上，
∴|PF′|≥c-a，
∴4a≥c-a，∴a≥$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{c}{a}$＞1，∴a＜4，
∴a的取值范圍是[$\frac{4}{5}$，4），
故答案為[$\frac{4}{5}$，4）．

點評 本題考查向量數量積的運用，同時考查直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點，雙曲線的簡單性質的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．