Question

1．已知定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（x+1），{\;}_{\;}x∈[0，1]\\|x-3|-1，{\;}_{\;}x∈（1，+∞）\end{array}$，則關于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）的所有根之和為（　　）

• A． 2^a-1
• B． 2^a+1
• C． 1-2^-a
• D． 1+2^-a

Answer 1

分析 根據已知畫出函數f（x）的圖象，根據函數的對稱性，結合指數和對數的運算性質，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（x+1），{\;}_{\;}x∈[0，1]\\|x-3|-1，{\;}_{\;}x∈（1，+∞）\end{array}$，
故函數f（x）的圖象如下圖所示：

故關于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）共有5個根：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
則x₁+x₂+x₄+x₅=0，x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₃，
由log₂（x₃+1）=a得：x₃=2^a-1，
故關于x的方程f（x）=a，（0＜a＜1）的所有根之和為2^a-1，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象，數形結合思想，難度中檔．