Question

10．已知圓C與y軸相切，圓心C在直線2x-y=0上，且被直線l：x-y+4=0分成兩段圓弧，其弧長的比為3﹕1．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若以點D（-1，0）為圓心的圓D與圓C相交所得的弦長為$2\sqrt{3}$，求圓D的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知設圓心坐標C（a，2a），則圓的方程為（x-a）²+（y-2a）²=a²，設直線l與圓C交于點A，B，則∠ACB=90°，由此能出圓C的標準方程．
（Ⅱ）設以點D（-1，0）為圓心的圓D與圓C相交所得的弦MN的長為2$\sqrt{3}$，連結CD，交MN于點P，則MP=PN=$\sqrt{3}$，求出CP=1，|CD|=5，從而PD=5-1=4，由此能求出圓D的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知設圓心坐標C（a，2a），
則圓的方程為（x-a）²+（y-2a）²=a²，
∵圓C被直線l：x-y+4=0分成兩段圓弧，
其弧長的比為3﹕1，
設直線l與圓C交于點A，B，則∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}|a|$，
∴圓心C（a，2a0到直線AB的距離d=$\frac{|a-2a+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|，
解得a=2，
∴圓C的標準方程為（x-2）²+（y-4）²=4．
（Ⅱ）設以點D（-1，0）為圓心的圓D與圓C相交所得的弦MN的長為2$\sqrt{3}$，
連結CD，交MN于點P，則MP=PN=$\sqrt{3}$，
CP=$\sqrt{4-3}$=1，|CD|=$\sqrt{（2+1）^{2}+{4}^{2}}$=5，∴PD=5-1=4，
設圓D的半徑為R，
則R=$\sqrt{P{M}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$，
∴圓D的方程為（x+1）²+y²=19．

點評 本題考查圓的標準方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線的距離公式的合理運用．