Question

4．在平面直角坐標系中內動點P（x，y）到圓F：x²+（y-1）²=1的圓心F的距離比它到直線y=-2的距離小1．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡為曲線E，過點F的直線l的斜率為k，直線l交曲線E于A，B兩點，交圓F于C，D兩點（A，C兩點相鄰）．
①若$\overrightarrow{BF}$=t$\overrightarrow{FA}$，當t∈[1，2]時，求k的取值范圍；
②過A，B兩點分別作曲線E的切線l₁，l₂，兩切線交于點N，求△ACN與△BDN面積之積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1，可得動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=-1的距離，利用拋物線的定義，即可求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）①由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x²-4kx-4=0，利用條件，結合韋達定理，可得t+$\frac{1}{t}$=4k²+2，利用函數的單調性，即可求k的取值范圍；
②求出直線AN，BN的方程，表示出面積，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1，
∴動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=-1的距離，
∴動點P的軌跡是以F（0，1）為焦點的拋物線，其方程為x²=4y；
（2）①由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x²-4kx-4=0，
設（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵$\overrightarrow{BF}$=t$\overrightarrow{FA}$，∴t=-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-t-$\frac{1}{t}$+2=-4k²，
∴t+$\frac{1}{t}$=4k²+2
∵f（t）=t+$\frac{1}{t}$在[1，2]上單調遞增，∴2≤t+$\frac{1}{t}$$≤\frac{5}{2}$，
∴$-\frac{\sqrt{2}}{4}≤k≤\frac{\sqrt{2}}{4}$；
②y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，y′=$\frac{1}{2}x$，
∴直線AN：y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），BN：y-$\frac{1}{4}$x₂²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₂），
兩式相減整理可得x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2k，
∴N（2k，-1），N到直線AB的距離d=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∵|AC|=|AF|-1=y₁，|BD|=|BF|-1=y₂，
∴|AC||BD|=1
∴△ACN與△BDN面積之積=$\frac{1}{2}|AC|d•\frac{1}{2}|BD|d$=$\frac{1}{4}p9vv5xb5^{2}$=1+k²，
當且僅當k=0時，△ACN與△BDN面積之積的最小值為0．

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．