Question

3．f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+（a-1）lnx，
（1）當a=3時，求f（x）的極值點；
（2）當a＜1時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）當a=3時，根據導數和函數的極值的關系即可求出，
（2）根據導數和函數的單調性的關系即可求出．

解答 解：（1）當a=3 時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx且x＞0，
∴f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{x}$（x-1）（x-2）
當f′（x）＞0時，0＜x＜1或x＞1
當f′（x）＞0時，1＜x＜2，
當x變化時，f′（x），f（x）變化如下：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0		0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

故x=1為極大值點，x=2為極小值點，
（2）f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{x}$（x-1）（x+1-a），x＞0，
∵a＜1，∴x+1-a＞0，
令f′（x）=0，
解得x=1，
當f′（x）＞0時，x＞1，當f′（x）＜0時，0＜x＜1；
故f（x）的減區間為（0，1），增區間為（1，+∞）．

點評 本題考查了導數和函數的單調性和極值的關系，屬于常規題型，應熟練掌握．