Question

12．如圖所示，在多面體ABCDE中，△BCD是邊長為2的正三角形，AE∥DB，AE⊥DE，2AE=BD，DE=1，面ABDE⊥面BCD，F是CE的中點．
（Ⅰ）求證：BF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD中點O，連接OC，OA，由題意可證OC、OD、OA兩兩互相垂直．以O為坐標原點，分別以OC、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出B，C，D，E，F的坐標，得到$\overrightarrow{BF}、\overrightarrow{CD}$的坐標，由$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CD}=0$，可得$\overrightarrow{BF}⊥\overrightarrow{CD}$，即BF⊥CD；
（Ⅱ）分別求出平面BCF與平面BFD的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角C-BF-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取BD中點O，連接OC，OA，

∵△BCD為正三角形，∴OC⊥BD，
∵面ABDE⊥面BCD，且面ABDE∩面BCD=BD，
∴OC⊥面ABDE，則OC⊥OA，
又AE∥DB，AE⊥DE，AE=$\frac{1}{2}DB$，
∴OA⊥OD．
以O為坐標原點，分別以OC、OD、OA所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則B（0，-1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
$\overrightarrow{BF}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CD}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
∵$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0$，∴$\overrightarrow{BF}⊥\overrightarrow{CD}$，即BF⊥CD；
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{BF}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{BD}=（0，2，0）$．
設平面BCF的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{3}{2}{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{m}=（1，-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．
設平面BFD的一個法向量$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}+\frac{3}{2}{y}_{2}+\frac{1}{2}{z}_{2}=0}\\{2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取x₂=1，得$\overrightarrow{n}=（1，0，-\sqrt{3}）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-6}{4×2}=-\frac{5}{8}$．
∴二面角C-BF-D的余弦值為$-\frac{5}{8}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．