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6.已知球的直徑SC=4,AB是該球球面上兩點,AB=2,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為$\sqrt{3}$.

分析 設球心為點O,作AB中點D,連接OD,CD,說明SC是球的直徑,利用余弦定理,三角形的面積公式求出S△SCD,和棱錐的高AB,即可求出棱錐的體積.

解答 解:設球心為點O,作AB中點D,連接OD,CD 因為線段SC是球的直徑,
所以它也是大圓的直徑,則易得:∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中,SC=4,∠ASC=30° 得:AC=2,SA=2$\sqrt{3}$
又在Rt△SBC中,SC=4,∠BSC=30° 得:BC=2,SB=2$\sqrt{3}$,
則SA=SB,AC=BC,
因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中,SD⊥AB且SD=$\sqrt{S{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
在等腰三角形CAB中,CD⊥AB且CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$,
又SD交CD于點D 所以:AB⊥平面SCD,
即:棱錐S-ABC的體積:V=$\frac{1}{3}$AB•S△SCD
因為:SD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,CD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$,SC=4,
所以由余弦定理得:cos∠SDC=(SD2+CD2-SC2)$•\frac{1}{2SD•CD}$=($\frac{45}{4}+\frac{13}{4}$-16)×$\frac{1}{2×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{65}}$,
則:sin∠SDC=$\sqrt{1-\frac{1}{65}}$=$\frac{8}{\sqrt{65}}$,
由三角形面積公式得△SCD的面積S=$\frac{1}{2}$SD•CD•sin∠SDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{8}{\sqrt{65}}$=3
所以:棱錐S-ABC的體積:V=$\frac{1}{3}$AB•S△SCD=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$.
故答案為:$\sqrt{3}$.

點評 本題是中檔題,考查球的內接棱錐的體積的求法,考查空間想象能力,計算能力,有難度的題目,常考題型.

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