Question

6．已知球的直徑SC=4，AB是該球球面上兩點，AB=2，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S-ABC的體積為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出S_△SCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積．

解答 解：設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD 因為線段SC是球的直徑，
所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2$\sqrt{3}$
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2$\sqrt{3}$，
則SA=SB，AC=BC，
因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=$\sqrt{S{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
又SD交CD于點D 所以：AB⊥平面SCD，
即：棱錐S-ABC的體積：V=$\frac{1}{3}$AB•S_△SCD，
因為：SD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，SC=4，
所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD²+CD²-SC²）$•\frac{1}{2SD•CD}$=（$\frac{45}{4}+\frac{13}{4}$-16）×$\frac{1}{2×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{65}}$，
則：sin∠SDC=$\sqrt{1-\frac{1}{65}}$=$\frac{8}{\sqrt{65}}$，
由三角形面積公式得△SCD的面積S=$\frac{1}{2}$SD•CD•sin∠SDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{8}{\sqrt{65}}$=3
所以：棱錐S-ABC的體積：V=$\frac{1}{3}$AB•S_△SCD=$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題是中檔題，考查球的內接棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力，有難度的題目，常考題型．