Question

16．向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1，3），$\overrightarrow{b}$=（-4，2，x），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，則x=$\frac{10}{3}$；若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角是銳角，則x 的取值范圍$（\frac{10}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 ①由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x=0，解得x．
②由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角是銳角，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x＞0，解得x范圍．若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2=-4λ}\\{-1=2λ}\\{3=xλ}\end{array}\right.$，解得x，進而得出范圍．

解答 解：①∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x=0，解得x=$\frac{10}{3}$．
②∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角是銳角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-8-2+3x＞0，解得x＞$\frac{10}{3}$．
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-4λ}\\{-1=2λ}\\{3=xλ}\end{array}\right.$，解得x=-6＜$\frac{10}{3}$．
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角是銳角，則x 的取值范圍是$（\frac{10}{3}，+∞）$．
故答案為：$\frac{10}{3}$；$（\frac{10}{3}，+∞）$．

點評 本題考查了向量數量積運算性質、向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．