Question

1．如圖，三棱錐A-BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}$，∠ACB=45°，E，F分別為MN的中點．
（1）求證：EF∥平面ABD；
（2）求二面角E-BF-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接E，F，由E，F分別為AC，CD的中點，結合三角形中位線定理可得EF∥AD，再由線面平行的判定可得EF∥平面ABD；
（2）由已知求解三角形可得AB⊥BC，結合△ABC和△BCD所在平面互相垂直可得AB⊥平面BCD，取BC中點G，過點G作BF的垂線GH，點H為垂足，則∠EHG為二面角E-BF-C的平面角，求解直角三角形得答案．

解答 （1）證明：連接E，F，
∵E，F分別為AC，CD的中點，∴EF∥AD，
又AD?平面ADB，EF?平面ADB，∴EF∥面ABD；
（2）解：取BC中點G，過點G作BF的垂線GH，點H為垂足，
∵AB=4，AC=4$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，
∴由AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos45°，得16=32+BC²-8BC，即BC=4．
∴AB²+BC²=AC²，即AB⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，且平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AB⊥平面BCD，則EG⊥平面BCD，EG⊥BF，
又GH⊥BF，∴BF⊥平面EGH，則BF⊥EH，即∠EHG為二面角E-BF-C的平面角．
∵BD=4，BC=4，CD=$4\sqrt{3}$，∴BF=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}=2$．
則∠CBF=60°，∴GH=2×$sin60°=\sqrt{3}$．
Rt△EGH中，$sin∠EHG=\frac{EG}{GH}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了二面角求法，正確找出二面角的平面角是關鍵，是中檔題．