Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，動(dòng)直線$l：y=\frac{3}{2}x+m$
（1）若動(dòng)直線l與橢圓C相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)動(dòng)直線l與橢圓C相交時(shí)，證明：這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)都在直線3x+2y=0上．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式大于0求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由（1）中的方程結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得直線l被橢圓所截線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線3x+2y=0成立，說(shuō)明直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)都在直線3x+2y=0上．

解答 （1）解：將$y=\frac{3}{2}x+m$代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，整理得：9x²+6mx+2m²-18=0，
由△=36m²-36（2m²-18）=-36m²+36×18＞0，
解得$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$-3\sqrt{2}，3\sqrt{2}$）；
（2）證明：設(shè)直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）知${x_1}+{x_2}=-\frac{2m}{3}$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{3}{2}（{x_1}+{x_2}）+2m=m$，
故線段AB的中點(diǎn)$M（-\frac{m}{3}，\frac{m}{2}）$，
代入直線3x+2y=0，可得3×$（-\frac{m}{3}）+2×\frac{m}{2}=0$．
∴直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)都在直線3x+2y=0上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．