Question

3．求解下列問題：
（1）求函數f（x）=$\frac{{{{（{x-2}）}^0}}}{{\sqrt{x+1}}}$的定義域；
（2）求函數f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由0指數冪的底數不等于0，分母中根式內部的代數式大于0聯立不等式組得答案；
（2）令$\sqrt{x-1}=t（t≥0）$換元，然后利用配方法求函數f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2≠0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$，得x＞-1且x≠2，
∴函數f（x）=$\frac{{{{（{x-2}）}^0}}}{{\sqrt{x+1}}}$的定義域為{x|x＞-1且x≠2}；
（2）令$\sqrt{x-1}=t（t≥0）$，則x=t²+1，
則函數f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$化為：
y=2t²+2-t=2t²-t+2=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}≥\frac{15}{8}$，
∴函數f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$的值域為：$\{y|y≥\frac{15}{8}\}$．

點評 本題考查函數的定義域與值域的求法，訓練了利用換元法和配方法求函數的值域，是中檔題．